円周率が3.05以上であることを証明する
うわ風呂入ろうと思ってたのに思わず計算してた。
はてな匿名ダイアリーで円周率が3.05以上であることを証明する話が出ていたので思わず計算した。*1
半径1の円を考えて内接正六角形を考えると周囲長が6になるから、円周率が3以上であることが証明できる。外を回っているから2PIが6より長いわけね。
んでまあ6から順当に増やして、内接の正8角形を考える。8角形の辺の長さが出せればよいわけだな。えーと。
図のOAは長さが1である。するってーと三平方の定理と等角二等辺三角形の合同やら相似がどうのこうの*2で*3OBとABは長さが
である。OCはOAと同じで長さが1でCBはOC-OBだから
だ。また三平方の定理で
だから
となる。
この8倍が8角形の周囲長で、これが2PIより小さいことは確実だ。（内側に入ってるからね。）じゃあ上の式を4倍したものが、3.05より大きければPIは3.05より大きいわけだ。計算するとになった。Windows電卓で3.0614674589207181738276798722432…だめですかそうですか。
えーと*4じゃあ、この式の平方が3.05の平方より大きければ証明できたことになるよね。
で
であるのは確定で、
を証明すれば
になるもんね。
3.05の平方は9.3025か。*5だから
*6
となって
おっ証明できた。
だから
ふー。証明自体より図を作ったりmimetex覚えたりするほうが時間かかったよ。
http://www002.upp.so-net.ne.jp/latex/
http://www12.plala.or.jp/ksp/tex/symbol/mathsymbols.html
http://www.forkosh.com/mimetexmanual.html
*1:追記：以下の証明は、前提条件に全然言及していなかった。使っているのは、3角形の内角の和が180度であること、二等辺三角形の底の角が等しいこと、三平方の定理が成立すること、正八角形の各辺の長さは等しいこと、三角形の合同の条件、だけかな。
*2:ABの延長と円の交点をDとすると、正8角形と言うことは、AC=DCである。また円に内接しているのでOA=OC=OD=1である。三角形ACOと三角形DCOは3辺共に等しいので合同。よって角AOC=DOCとなり、これを8回繰り返して8個足して360度なのでAOCは45度。二等辺三角形なので角OAC=角OCAであり、三角形の内角の和は180度であるからOCA=67.5度、同様に角OCD=67.5で角ACDは135度になる。二等辺三角形ACDを考えると角CAD=角CDAで内角の和は180度だから角CADは22.5度、よって引き算して角DAOが45度。二等辺三角形なのでAB=BOとなる。同様にDB=BOで、結局AB=DBとなる。またAB+DB=ADである。三平方の定理よりなので、
*3:って対称とか言えば良いのにまわりくどくないか俺。もっと簡単に言うと、縦横1の直角二等辺三角形の斜辺がルート2だからその半分で二分のルート2、ということ。
*4:ここでどうにか二重根号をはずせないか頑張っていったん挫折している。
*5:暗記していなくても手計算で求めればよい。 http://www.educ.tamagawa.ac.jp/mmrs/Circle/root.htm
*6:ここで1.42とか1.4143にしないのは勘である。証明したい数字が有効数字3桁だから、もう一桁用意すれば十分なのではないか？という憶測が入ってる。
